Lukiossamme on järjestetty kolmena vuonna luonnontieteellisen suuntautumisvaihtoehdon abi-opiskelijoille tarkoitettu matematiikan kurssi Matemaattinen mallintaminen (MAL20). Kurssilla opiskelijat saavat käsityksen siitä, millaista mallintaminen on ”oikeasti”. Työkaluina käytämme Differentiaaliyhtälöitä ja matriiseja sekä niiden käsittelyyn sopivaa tietokoneohjelmaa. Kaikki malleihin liittyvä laskenta suoritetaan ilmaisella Maxima -ohjelmalla, jonka käyttöön on aiemmin annettu lyhyt opastus. Maxima on suhteellisen helppokäyttöinen ohjelma ja runsaiden koodiesimerkkien avulla kaikki kurssille osallistuvat pystyvät suoriutumaan sen käytöstä. Muutaman oppitunnin jälkeen opiskelijat puhuvat jo tottuneesti ”desolvaamisesta”, ”definoimisesta” ja ”plottaamisesta”.
Oppitunnit alkavat teoriaosuudella kurssimonistetta tutkien.
Esimerkkien avulla opitaan teorian lisäksi myös harjoitustehtävien
ratkaisemiseen tarvittava Maxima-koodi. Suurin osa oppituntien ajasta käytetään
harjoitustehtävien ratkomiseen yksin, pareittain tai ryhmässä. Kotitehtäviä
kurssilla ei ole, mutta tehtäviä ratkotaan siitä huolimatta kiitettävällä
innolla. Tähän antaa lisämotivaatiota tieto loppukokeen rakenteesta. Kaikki
koetehtävät nimittäin ovat näitä kurssimonisteen harjoitustehtäviä pienin
muutoksin höystettynä. Seuraavassa on esimerkkejä kurssilla mallinnettavista asioista ja ilmiöistä.
Polkupyörien sijoittamista ja hakutulosten järjestelyä
Polkupyörävuokraamo-ongelma ja Googlen PageRank -algoritmi ovat matriisilaskennan sovelluksia.
Polkupyörävuokraamo-ongelmassa tutkitaan yritystä, joka
vuokraa pyöriä kolmessa toimipisteessä. Koska vuokraaja saa palauttaa pyörän
mihin tahansa toimipisteeseen, on vaara, että jostakin toimipisteestä loppuu
pyörät kesken. Kun tunnetaan polkupyörien jakautuminen eri toimipisteisiin
alkuhetkellä ja (empiirisesti selvitetyt) todennäköisyydet, mihin toimipisteisiin
pyöriä palautetaan, voidaan polkupyörien määrää eri toimipisteissä tutkia
Markovin ketjujen avulla. Voidaan siis mallintaa, millaiset määrät polkupyöriä
kuhunkin toimipisteeseen kannattaa sijoittaa, jotta ne eivät lopu yhdestäkään
toimipisteestä kesken. Tämän lisäksi huomataan, että on jopa mahdollista
selvittää millä sijoittelulla pyörien määrä pysyy kaikissa toimipisteissä
vakiona. Tällöin esimerkiksi tilojen tai huoltokapasiteetin tarvetta eri
toimipisteissä voidaan arvioida etukäteen laskennallisesti. Toisessa kurssin
tehtävässä vuokrataan autoja ja otetaan huomioon, että autot voivat olla joskus
myös huollettavana. Myös tällöin voidaan mallin avulla selvittää, miten
vuokrattavat autot kannattaa alussa jakaa toimipisteiden kesken.
PageRank -algoritmi on Googlen perustajien Larry Pagen ja
Sergey Brinin kehittämä laskennallinen menetelmä hyperlinkkien laadun
arvioimiseksi. Tässä laadulla tarkoitetaan todennäköisyyttä, jolla satunnainen
nettisurffailija päätyy klikkaamaan hakutuloksen linkeistä juuri kyseistä
linkkiä. PageRankin avulla Google-hakukone laittaa hakutuloksen linkit
paremmuusjärjestykseen. Koska PageRank on sekoitus matriiseja ja
todennäköisyyslaskentaa, voidaan Googlenkin sanoa toimivan matematiikan
voimalla. Tosin PageRank ei ole ainoa algoritmi, jota Google käyttää, mutta se
on niistä ensimmäinen ja kuuluisin. Sen keksittyään Page ja Brin perustivat
Google-yhtiön ja nykyään he ovat vaikutusvaltaisia miljardöörejä.
Petoja, saaliita ja tautiepidemioiden mallinnusta
Peto-saalis -malli ja tautiepidemioita mallintava SIR -malli perustuvat differentiaaliyhtälöryhmien soveltamiseen. Peto-saalis –malli kuvaa kahden eläinlajin yhteiseloa.
Saalislaji käyttää ravinnokseen ympäristön antimia ja pedot taas saaliseläimiä.
Yhteiseloa kuvaa differentiaaliyhtälöpari (alla kuvassa ylempi yhtälöpari),
joka ottaa huomioon monia oletuksia. Esimerkiksi kohtaamiset eri lajien kesken
pienentävät saalispopulaatiota ja kasvattavat petopopulaatiota. Jos
saaliseläimet kuolevat sukupuuttoon, niin sama seuraa pienellä viiveellä myös
petoja. Jos petoja ei ole, saaliseläinten määrä kasvaa eksponentiaalisesti.
Maximan avulla piirrämme populaatioiden kehitystä havainnollistavan kuvaajan
tietyillä parametrien a, b, c, d arvoilla (kuva alla oikealla). Lisää mielenkiintoa
tutkimukseen saadaan lisäämällä laskuihin mukaan vielä metsästys (alla kuvassa
alempi yhtälöpari). Kun ihminen metsästää petoja (tai saaliseläimiä), voidaan
metsästystehokkuutta säätelemällä vaikuttaa eläinpopulaatioiden kokoon niiden
syklisyyttä menettämättä.
 |
| Kuva 1. Populaatioiden kehitysta havainnollistavat matemaattiset mallit ja kuvaaja. |
SIR -mallilla tutkitaan tautiepidemian etenemistä
yhteisössä, jossa on taudin suhteen kolmenlaisia yksilöitä: tartunta-alttiit,
tartunnan kantajat ja parantuneet. Oletamme, että taudin voi saada vain kerran,
kuten esimerkiksi tuhkarokon tapauksessa. Ensin rakennamme
differentiaaliyhtälöt näille kolmelle ryhmälle käyttäen arkijärjen mukaisia
oletuksia, esimerkiksi että tartunta voi tapahtua vain tartunta-alttiin ja
tartunnan kantajan kohdatessa ja tällöinkin vain tietyllä todennäköisyydellä.
Seuraavaksi parantelemme mallia ottamalla huomioon syntyvyyden ja kuolleisuuden
yhteisössä ja olettamalla esimerkiksi, että kaikki vastasyntyneet kuuluvat
tartunta-alttiiden ryhmään. Tämän jälkeen lisäämme malliin vielä
vastasyntyneiden ja muun väestön rokotusohjelmat. Alla kuvassa vasemmalla on
lopullinen mallimme, jonka ratkaisemme numeerisesti Maximalla sopiviksi
katsomillamme parametrien arvoilla (s on tartunta-alttiiden, i tartunnan
kantajien, r parantuneiden ja v rokotettujen määrä). Alla kuvassa keskellä
näkyy tilanteen kehitys ilman rokotuksia ja oikealla rokotusten kanssa. Kuvista
voidaan päätellä esimerkiksi se itsestään selvä lopputulos, että rokotusohjelmat
vähentävät tartunnan saaneiden määrää. Parametrien arvoja muuttelemalla
voitaisiin kuitenkin ehkä saada tuloksia, joiden päätteleminen ei onnistuisi
arkijärjellä. Niin pitkälle emme kuitenkaan pääse, koska kurssilla on niin
paljon muutakin mallinnettavaa. Olisi mielenkiintoista vertailla esimerkiksi
taudin etenemistä erilaisissa yhteisöissä. Esimerkiksi suurkaupungeissa
ihmisten välisiä kohtaamisia on paljon, joten taudin luulisi etenevän siellä
tehokkaammin. Myös rokotusohjelman peittävyyden vaikutusta taudin menestymiseen
olisi mielenkiintoista tutkia.
 |
| Kuva 2. Vasemmassa kuvaajassa tautiepidemien kehitys ilman rokotuksia ja oikealla rokotuksien kanssa. Violetti viiva (s) on tartunta-alttiiden määrä, punainen viiva (i) tartunnan kantajien määrä, vihreä viiva (r) parantuneiden määrä ja vaaleanpunainen (v) on rokotettujen määrä. |
Kurssi päättyy kurssikokeeseen, jossa saa käyttää apuna
kurssimonistetta ja kurssin aikana tekemiään Maxima-koodeja. Näin kurssikoe
saadaan vaikeustasoltaan lukioon sopivaksi. Luonnontieteellisen
suuntautumisvaihtoehdon opiskelijat ovat sen verran osaavia ja motivoituneita,
että yhtään hylättyä arvosanaa ei ole vielä tarvinnut tästä kurssista antaa.
Matemaattinen mallintaminen -kurssi pidetään jatkossakin
joka vuosi vanhoille luonnontieteellisen suuntautumisvaihtoehdon opiskelijoille
ja tuleville matemaattis-luonnontieteellisen linjan opiskelijoille.
Teksti ja kuvat Jani Nurmi
