Matematiikka tehokäytössä

Lukiossamme on järjestetty kolmena vuonna luonnontieteellisen suuntautumisvaihtoehdon abi-opiskelijoille tarkoitettu matematiikan kurssi Matemaattinen mallintaminen (MAL20). Kurssilla opiskelijat saavat käsityksen siitä, millaista mallintaminen on ”oikeasti”. Työkaluina käytämme Differentiaaliyhtälöitä ja matriiseja sekä niiden käsittelyyn sopivaa tietokoneohjelmaa. Kaikki malleihin liittyvä laskenta suoritetaan ilmaisella Maxima -ohjelmalla, jonka käyttöön on aiemmin annettu lyhyt opastus. Maxima on suhteellisen helppokäyttöinen ohjelma ja runsaiden koodiesimerkkien avulla kaikki kurssille osallistuvat pystyvät suoriutumaan sen käytöstä. Muutaman oppitunnin jälkeen opiskelijat puhuvat jo tottuneesti ”desolvaamisesta”, ”definoimisesta” ja ”plottaamisesta”.

Oppitunnit alkavat teoriaosuudella kurssimonistetta tutkien. Esimerkkien avulla opitaan teorian lisäksi myös harjoitustehtävien ratkaisemiseen tarvittava Maxima-koodi. Suurin osa oppituntien ajasta käytetään harjoitustehtävien ratkomiseen yksin, pareittain tai ryhmässä. Kotitehtäviä kurssilla ei ole, mutta tehtäviä ratkotaan siitä huolimatta kiitettävällä innolla. Tähän antaa lisämotivaatiota tieto loppukokeen rakenteesta. Kaikki koetehtävät nimittäin ovat näitä kurssimonisteen harjoitustehtäviä pienin muutoksin höystettynä. Seuraavassa on esimerkkejä kurssilla mallinnettavista asioista ja ilmiöistä.

Polkupyörien sijoittamista ja hakutulosten järjestelyä

Polkupyörävuokraamo-ongelma ja Googlen PageRank -algoritmi ovat matriisilaskennan sovelluksia.

Polkupyörävuokraamo-ongelmassa tutkitaan yritystä, joka vuokraa pyöriä kolmessa toimipisteessä. Koska vuokraaja saa palauttaa pyörän mihin tahansa toimipisteeseen, on vaara, että jostakin toimipisteestä loppuu pyörät kesken. Kun tunnetaan polkupyörien jakautuminen eri toimipisteisiin alkuhetkellä ja (empiirisesti selvitetyt) todennäköisyydet, mihin toimipisteisiin pyöriä palautetaan, voidaan polkupyörien määrää eri toimipisteissä tutkia Markovin ketjujen avulla. Voidaan siis mallintaa, millaiset määrät polkupyöriä kuhunkin toimipisteeseen kannattaa sijoittaa, jotta ne eivät lopu yhdestäkään toimipisteestä kesken. Tämän lisäksi huomataan, että on jopa mahdollista selvittää millä sijoittelulla pyörien määrä pysyy kaikissa toimipisteissä vakiona. Tällöin esimerkiksi tilojen tai huoltokapasiteetin tarvetta eri toimipisteissä voidaan arvioida etukäteen laskennallisesti. Toisessa kurssin tehtävässä vuokrataan autoja ja otetaan huomioon, että autot voivat olla joskus myös huollettavana. Myös tällöin voidaan mallin avulla selvittää, miten vuokrattavat autot kannattaa alussa jakaa toimipisteiden kesken.

PageRank -algoritmi on Googlen perustajien Larry Pagen ja Sergey Brinin kehittämä laskennallinen menetelmä hyperlinkkien laadun arvioimiseksi. Tässä laadulla tarkoitetaan todennäköisyyttä, jolla satunnainen nettisurffailija päätyy klikkaamaan hakutuloksen linkeistä juuri kyseistä linkkiä. PageRankin avulla Google-hakukone laittaa hakutuloksen linkit paremmuusjärjestykseen. Koska PageRank on sekoitus matriiseja ja todennäköisyyslaskentaa, voidaan Googlenkin sanoa toimivan matematiikan voimalla. Tosin PageRank ei ole ainoa algoritmi, jota Google käyttää, mutta se on niistä ensimmäinen ja kuuluisin. Sen keksittyään Page ja Brin perustivat Google-yhtiön ja nykyään he ovat vaikutusvaltaisia miljardöörejä.

Petoja, saaliita ja tautiepidemioiden mallinnusta

Peto-saalis -malli ja tautiepidemioita mallintava SIR -malli perustuvat differentiaaliyhtälöryhmien soveltamiseen. Peto-saalis –malli kuvaa kahden eläinlajin yhteiseloa. Saalislaji käyttää ravinnokseen ympäristön antimia ja pedot taas saaliseläimiä. Yhteiseloa kuvaa differentiaaliyhtälöpari (alla kuvassa ylempi yhtälöpari), joka ottaa huomioon monia oletuksia. Esimerkiksi kohtaamiset eri lajien kesken pienentävät saalispopulaatiota ja kasvattavat petopopulaatiota. Jos saaliseläimet kuolevat sukupuuttoon, niin sama seuraa pienellä viiveellä myös petoja. Jos petoja ei ole, saaliseläinten määrä kasvaa eksponentiaalisesti. Maximan avulla piirrämme populaatioiden kehitystä havainnollistavan kuvaajan tietyillä parametrien a, b, c, d arvoilla (kuva alla oikealla). Lisää mielenkiintoa tutkimukseen saadaan lisäämällä laskuihin mukaan vielä metsästys (alla kuvassa alempi yhtälöpari). Kun ihminen metsästää petoja (tai saaliseläimiä), voidaan metsästystehokkuutta säätelemällä vaikuttaa eläinpopulaatioiden kokoon niiden syklisyyttä menettämättä.

Kuva 1. Populaatioiden kehitysta havainnollistavat matemaattiset mallit ja kuvaaja.

 SIR -mallilla tutkitaan tautiepidemian etenemistä yhteisössä, jossa on taudin suhteen kolmenlaisia yksilöitä: tartunta-alttiit, tartunnan kantajat ja parantuneet. Oletamme, että taudin voi saada vain kerran, kuten esimerkiksi tuhkarokon tapauksessa. Ensin rakennamme differentiaaliyhtälöt näille kolmelle ryhmälle käyttäen arkijärjen mukaisia oletuksia, esimerkiksi että tartunta voi tapahtua vain tartunta-alttiin ja tartunnan kantajan kohdatessa ja tällöinkin vain tietyllä todennäköisyydellä. Seuraavaksi parantelemme mallia ottamalla huomioon syntyvyyden ja kuolleisuuden yhteisössä ja olettamalla esimerkiksi, että kaikki vastasyntyneet kuuluvat tartunta-alttiiden ryhmään. Tämän jälkeen lisäämme malliin vielä vastasyntyneiden ja muun väestön rokotusohjelmat. Alla kuvassa vasemmalla on lopullinen mallimme, jonka ratkaisemme numeerisesti Maximalla sopiviksi katsomillamme parametrien arvoilla (s on tartunta-alttiiden, i tartunnan kantajien, r parantuneiden ja v rokotettujen määrä). Alla kuvassa keskellä näkyy tilanteen kehitys ilman rokotuksia ja oikealla rokotusten kanssa. Kuvista voidaan päätellä esimerkiksi se itsestään selvä lopputulos, että rokotusohjelmat vähentävät tartunnan saaneiden määrää. Parametrien arvoja muuttelemalla voitaisiin kuitenkin ehkä saada tuloksia, joiden päätteleminen ei onnistuisi arkijärjellä. Niin pitkälle emme kuitenkaan pääse, koska kurssilla on niin paljon muutakin mallinnettavaa. Olisi mielenkiintoista vertailla esimerkiksi taudin etenemistä erilaisissa yhteisöissä. Esimerkiksi suurkaupungeissa ihmisten välisiä kohtaamisia on paljon, joten taudin luulisi etenevän siellä tehokkaammin. Myös rokotusohjelman peittävyyden vaikutusta taudin menestymiseen olisi mielenkiintoista tutkia.

Kuva 2. Vasemmassa kuvaajassa tautiepidemien kehitys ilman rokotuksia ja oikealla rokotuksien kanssa. Violetti viiva (s) on tartunta-alttiiden määrä,  punainen viiva (i) tartunnan kantajien määrä, vihreä viiva (r) parantuneiden määrä ja vaaleanpunainen (v) on rokotettujen määrä. 

Kurssi päättyy kurssikokeeseen, jossa saa käyttää apuna kurssimonistetta ja kurssin aikana tekemiään Maxima-koodeja. Näin kurssikoe saadaan vaikeustasoltaan lukioon sopivaksi. Luonnontieteellisen suuntautumisvaihtoehdon opiskelijat ovat sen verran osaavia ja motivoituneita, että yhtään hylättyä arvosanaa ei ole vielä tarvinnut tästä kurssista antaa.

Matemaattinen mallintaminen -kurssi pidetään jatkossakin joka vuosi vanhoille luonnontieteellisen suuntautumisvaihtoehdon opiskelijoille ja tuleville matemaattis-luonnontieteellisen linjan opiskelijoille.

Teksti ja kuvat Jani Nurmi

Kevät avaa retkeilykauden

Luonto herää keväällä jälleen uuteen eloon ja tarjoaa runsaat retkeilymahdollisuudet lähiluonnossa. Havaintoja voi tehdä koiraa lenkitellessä tai koulumatkallakin, mutta paras tapa päästä kiinni kevään etenemiseen on tehdä pieniä täsmäretkiä oikeaan aikaan keväästä. Jos kiinnostusta riittää voi myös osallistua vaikkapa Luonto-Liiton kevätseurantaan. Seuraavaksi muutama vinkki kevään etenemisen tarkkailuun.

Sammakonkutua Kinnarinlammessa pesiskentän laidalla. Kuva Joona Svala.

Helmi-huhtikuulla kannattaa suunnata illan pimetessä vaikkapa Sipoonkorven kansallispuiston reunamille ja terästää kuuloaan - pöllöt huhuilevat soidinhuutojaan. Pöllöretkelle kannattaa ottaa paljon lämmintä vaatetta mukaan ja  miettiä ennakolta sopiva tarkkailupaikka, jossa ei ole kovin paljon liikennettä. Hieman kuumaa juomaa ja tarkkaavaisuutta niin pöllöjen ääniä alkaa kuulua. Parhaimpia tarkkailusäitä ovat aurinkoiset ja vähätuuliset päivät, jolloin pöllöt ovat aktiivisia ja äänet kuuluvat kauas.

Viimeistään maaliskuussa katseen voi myös suunnata taivaalle. Ensimmäisiä muuttolintuja saattaa tulla jopa helmikuun lopulla, mutta yleensä lumen lähdön aikaan muutto vilkastuu. Omalta pihalta voi helposti löytää punarinnan, peipposia, västäräkin ja nähdä hanhien, kurkien tai joutsenten auroja. Yksi parhaista havaintopaikoista ovat kuitenkin lintutornit esimerkiksi Tuusulanjärven molemmissa päissä. Niillä kannattaa vierailla kun lumet sulavat jäältä ja heti jäänlähdön jälkeen. Kun vedet ovat korkealla ja rantakasvillisuuskaan ei ole vielä noussut, voi tavallisella kiikarillakin tehdä hyviä havaintoja.

Huhtikuun lopulla tai toukokuun alkupuolella, riippuen kevään etenemisestä on sammakoiden kutuaika. Sammakot kerääntyvät ojiin ja erityisesti pieniin lampiin, joissa ei ole kalakantaa, kutemaan. Sopivan lammen rannalla voi olla kymmeniä, jopa satoja sammakoita kurnuttamassa ja laskemassa kutuaan. Esimerkiksi Jokelassa on paljon sopivia pieniä lampia, joissa pesii myös joutsenia ja mustakurkku-uikkuja. Viitasammakot taas pikemminkin pulputtavat. Rupikonnia voi myös havaita laskemassa nauhamaista kutuaan, jopa pienten järvien rannoilla. Niitä eivät kalat haittaa, sillä sammakot, mäti ja poikaset ovat myrkyllisiä kaloille. Tavallisen sammakon kutu nousee veden pintaan, joten siitä on helppo seurata kudun kehittymistä - viitasammakon ja rupikonnan kutu taas jää taas syvemmälle veteen, joten sitä on vaikeampi seurata.

Toukokuussa kannattaa myös suunnata kulkunsa lehtometsiin. Niitä tietysti löytyy helposti myös purojen ja lampien rannoilta. Valkovuokot, imikät, näsiät, pystykiurunkannukset, Järvenpään nimikkokukat keltavuokot ja monet muut tarjoavat kukkaloistoaan erityisesti pienillä metsäaukeilla. Järvenpääläisille erityisen hyvä paikka tutkia kevään kukkaloistoa on Lemmenlaakson suojelualueen eteläpään rantaniityt.
 
Jos haluaa syventää tietämystään lähiluonnosta kannattaa tarkkailla sanomalehtien ilmoistuspalstoja, sillä niiden tapahtumasivuilla mm. Luonnonsuojeluliiton paikallisyhdistykset mainostavat tapahtumiaan. Ohjatuilla retkillä asiantuntijoilta tai vihkiytyneiltä harrastajilta saa paljon lisätietoa paikallisesta luonnosta. Kesäkaudenkin voi startata retkeillen lähiluonnossa, vaikkapa luonnonkukkien päivänä 17.6.2017, jolloin kaikissa Pohjoismaissa järjestetään runsaasti kasvintunnistusretkiä. Kasviharrastajille koulummekin tarjoaa kesäpuuhaa: Bi12 Lajintuntemus-kurssilla voi kesän mittaan kerätä digitaalisen kasvion.